Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình \({{\log }_{4}}\left( {{x}^{2}}-x-m \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+2 \right)\) có nghiệm.

* Hướng dẫn giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - m > 0\\ x + 2 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} - x - m > 0\\ x > - 2 \end{array} \right.\) (*)

Với điều kiện trên bất phương trình đã cho tương đương với

\({{\log }_{{{2}^{2}}}}\left( {{x}^{2}}-x-m \right)\ge {{\log }_{2}}\left( x+2 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-x-m \right)\ge {{\log }_{2}}{{\left( x+2 \right)}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x-m\ge {{x}^{2}}+4x+4\)

\(\Leftrightarrow m\le -5x-4\)

Vì với những giá trị của x thỏa mãn \({{x}^{2}}-x-m\ge {{x}^{2}}+4x+4>0, \forall x>-2\) thì \(\left( * \right)\) luôn đúng

Nên ta kết hợp lại ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} m \le - 5x - 4\\ x > - 2 \end{array} \right.\)(**)

Bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(\left( ** \right)\) có nghiệm \(\Leftrightarrow m\le \underset{\left( -2;+\infty  \right)}{\mathop{\max }}\,\left( -5x-4 \right)\Rightarrow m<6.\)