Cho \(\int\limits_{3}^{4}{\frac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=a\ln \frac{3}{2}+b\ln c\), với a,b,c là các số hữu tỷ. Giá trị của 5a+15b-11c bằng

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(\frac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}=\frac{2x+1}{\left( x-1 \right)\left( 3x+2 \right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{3x+2}\Rightarrow 2x+1\equiv A\left( 3x+2 \right)+B\left( x-1 \right)\)

Khi đó, dùng kỹ thuật đồng nhất hệ số ta được

+ Cho \(x=1\Rightarrow A=\frac{3}{5}\)

+ Cho \(x=0\Rightarrow B=\frac{1}{5}\)

Khi đó ta có

\(\int\limits_{3}^{4}{\frac{2x+1}{3{{x}^{2}}-x-2}\text{d}x}=\int\limits_{3}^{4}{\left( \frac{3}{5\left( x-1 \right)}+\frac{1}{5\left( 3x+2 \right)} \right)}\text{d}x=\left. \left( \frac{3}{5}\ln \left| x-1 \right|+\frac{1}{15}\ln \left| 3x+2 \right| \right) \right|_{3}^{4}\)

\(=\frac{3}{5}\ln \frac{3}{2}+\frac{1}{15}\ln \frac{16}{11}\)

\(\Rightarrow a=\frac{3}{5},b=\frac{1}{15},c=\frac{16}{11}\Rightarrow 5a+15b-11c=-12\)