Có bao nhiêu sp z thỏa mãn \(\left| z+2-i \right|=2\sqrt{2}\) và \({{\left( z-i \right)}^{2}}\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Đặt z=x+yi. Ta có \(\left| z+2-i \right|=2\sqrt{2}\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=8 \left( 1 \right)\)

\({{\left( z-i \right)}^{2}}={{\left( x+\left( y-1 \right)i \right)}^{2}}={{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}+2x\left( y-1 \right)i\) là số thuần ảo \({{x}^{2}}-{{\left( y-1 \right)}^{2}}=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=y-1 \\ & x=-y+1 \\ \end{align} \right.\)

Khi đó \(2{{x}^{2}}=8\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=2 \\ & x=-2 \\ \end{align} \right.\)

Với x=2 ta có y=3 hoặc y=-1. Ta có z=2+3i hoặc z=2-i

Với x=-2 ta có y=-3 hoặc y=3. Ta có z=-2+3i hoặc z=-2-3i

Vậy có 4 số phức z thỏa mãn bài toán.