Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình sau. Hàm số \(g\left( x \right)=2{{f}^{3}}\left( x \right)-6{{f}^{2}}\left( x \right)-1\) có bao nhiêu điểm cực đại?

* Hướng dẫn giải

\(g'\left( x \right) = 6{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) - 12f\left( x \right)f'\left( x \right) = 6f\left( x \right)f'\left( x \right)\left( {f\left( x \right) - 2} \right)\)

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} f\left( x \right) = 0\\ f'\left( x \right) = 0\\ f\left( x \right) = 2 \end{array} \right.\)

Từ bảng biến thiên của \(f\left( x \right)\) ta thấy:

+) \(f\left( x \right)=0\) có ba nghiệm phân biệt.

+) \(f\left( x \right)=2\) có ba nghiệm phân biệt khác với ba nghiệm trên.

+) \({f}'\left( x \right)=0\) có hai nghiệm phân biệt x=0 và x=3 khác với các nghiệm trên.

Vậy phương trình \({g}'\left( x \right)=0\) có tất cả 8 nghiệm phân biệt.

Từ bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) ta cũng thấy khi \(x\to +\infty \) thì

\(\left\{ \begin{array}{l} f\left( x \right) \to - \infty \\ f'\left( x \right) < 0\\ f\left( x \right) - 2 \to - \infty \end{array} \right. \Rightarrow g'\left( x \right) < 0\)

Vậy ta có bảng xét dấu của \({g}'\left( x \right)\) như sau:

Từ bảng xét dấu trên ta thấy hàm số \(g\left( x \right)\) có 4 điểm cực đại.