Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\). Đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

* Hướng dẫn giải

Ta có \({g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)+2x\Rightarrow {g}'\left( x \right)=0\Rightarrow x\in \left\{ -3;1;3 \right\}\)

Từ đồ thị của \(y={f}'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên.(Chú ý là hàm \(g\left( x \right)\) và \({g}'\left( x \right)\)).

Suy ra \(g\left( 3 \right)>g\left( 1 \right)\).

Kết hợp với bảng biến thiên ta có:

\(\begin{array}{l} \int\limits_{ - 3}^1 {\left( { - g'\left( x \right)} \right)dx} > \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} \\ \Leftrightarrow \int\limits_1^{ - 3} {g'\left( x \right)dx} > \int\limits_1^3 {g'\left( x \right)dx} \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) - g\left( 1 \right) > g\left( 3 \right) - g\left( 1 \right) \Leftrightarrow g\left( { - 3} \right) > g\left( 3 \right) \end{array}\)

Vậy ta có \(g\left( -3 \right)>g\left( 3 \right)>g\left( 1 \right)\).