Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng 3a. Điểm H thuộc cạnh AC với HC=a. Dựng đoạn thẳng SH vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) với SH=2a. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳn...

* Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm AB, suy ra \(CE\bot AB\)

Kẻ \(HI//CE,I\in AB.\)

Ta có \(\left\{ \begin{align} & HI\bot AB \\ & AB\bot SH \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\bot \left( SHI \right)\)

Trong mặt phẳng \(\left( SHI \right),\) kẻ \(HK\bot SI\) tại K, suy ra \(HK\bot \left( SAB \right)\)

Ta có \(HI=\frac{2}{3}CE=a\sqrt{3}.\)

Ta có \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{H{{S}^{2}}}+\frac{1}{H{{I}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{2a\sqrt{21}}{7}.\)

Ta có \(d\left( C;\left( SAB \right) \right)=\frac{3}{2}d\left( H;\left( SAB \right) \right)=\frac{3}{2}HK=\frac{3a\sqrt{21}}{7}.\)