Cho số phức \(z=a+bi\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\) thỏa mãn \(\left| z \right|=5\) và \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực. Tính \(P=\left| a \right|+\left...

* Hướng dẫn giải

Ta có

\(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)=\left( a+bi \right)\left( 4-3i \right)=4a+3b+\left( -3a+4b \right)i.\text{  }\left( 1 \right)\)

Do \(z\left( 2+i \right)\left( 1-2i \right)\) là một số thực nên từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \(-3a+4b=0\Leftrightarrow b=\frac{3}{4}a.\text{        }\left( 2 \right)\)

Mặt khác \(\left| z \right|=5\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=25.\text{        }\left( 3 \right)\)

Thế \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta được phương trình

\({{a}^{2}}+{{\left( \frac{3}{4}a \right)}^{2}}=25\Leftrightarrow {{a}^{2}}=16\Leftrightarrow a=\pm 4.\)

Với \(a=4\Rightarrow b=3\) và \(a=-4\Rightarrow b=-3.\)

Vậy \(P=\left| a \right|+\left| b \right|=3+4=7.\)