Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A$ và có \(AB=a,BC=a\sqrt{3},\) mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)...

* Hướng dẫn giải

Gọi K là trung điểm của đoạn AB.

Ta có \(\Delta SAB\) đều \(\Rightarrow SK\bot AB.\)

Mà \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến AB

\(\Rightarrow SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}\)

Ta có \(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB=a,BC=a\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{3{{a}^{2}}-{{a}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta ABC}}\) đều cạnh \(AB=a\Rightarrow\) đường cao \(SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}.\)