Có tất cả bao nhiêu bộ ba các số thực \(\left( x;y;z \right)\) thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Hệ phương trình đã cho tương đương

\(\left\{ \begin{array}{l} {2^{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}{.4^{\sqrt[3]{{{y^2}}}}}{.16^{\sqrt[3]{{{z^2}}}}} = 128\\ {\left( {x{y^2} + {z^4}} \right)^2} - {\left( {x{y^2} - {z^4}} \right)^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt[3]{{{x^2}}} + 2\sqrt[3]{{{y^2}}} + 4\sqrt[3]{{{z^2}}} = 7\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 7 số không âm ta có

\(7=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+2\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+4\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\)

\(=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{y}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}+\sqrt[3]{{{z}^{2}}}\)

\(\ge 7\sqrt[7]{\sqrt[3]{{{x}^{2}}}.{{\left( \sqrt[3]{{{y}^{2}}} \right)}^{2}}.{{\left( \sqrt[3]{{{z}^{2}}} \right)}^{4}}}\)

\(=7\sqrt[21]{{{\left( x{{y}^{2}}{{z}^{4}} \right)}^{2}}}\)

=7

Do đó hệ phương trình đã cho tương đương \(\left\{ \begin{array}{l} {x^2} = {y^2} = {z^2}\\ x{y^2}{z^4} = 1 \end{array} \right..\)

Dễ thấy x>0 và từ phương trình thứ hai ta có \({{x}^{7}}=1\) hay x=1. Suy ra \(y=\pm 1,z=\pm 1.\)

Vậy các bộ số thực thỏa mãn đề bài là \(\left( 1;1;1 \right),\left( 1;1;-1 \right),\left( 1;-1;-1 \right),\left( 1;-1;1 \right).\)