Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+\frac{1}{3}{{x}^{3}}-3{{x}...

* Hướng dẫn giải

\({g}'\left( x \right)=\left( 4-2x \right){f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+{{x}^{2}}-6x+8=\left( 2-x \right)\left[ 2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x \right]\).

Với \(x\in \left[ 1\,;\,3 \right]\) thì 4-x>0; \(3\le 4x-{{x}^{2}}\le 4\) nên \({f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)>0\).

Suy ra \(2{f}'\left( 4x-{{x}^{2}} \right)+4-x>0, \forall x\in \left[ 1\,;\,3 \right]\).

Bảng biến thiên

Suy ra \(\underset{\left[ 1\,;\,3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=f\left( 4 \right)+7=12\).