Cho a,b là các số thực thỏa mãn 4a+2b>0 và \({{\log }_{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+1}}\left( 4a+2b \right)\ge 1\). Gọi M,m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=...

* Hướng dẫn giải

+ Ta có \(P=3a+4b\Leftrightarrow b=\frac{P-3a}{4}\). (2)

+ Thay (2) vào (1) ta được \(4a+2\frac{P-3a}{4}\ge {{a}^{2}}+{{\left( \frac{P-3a}{4} \right)}^{2}}+1\)

\(\Leftrightarrow 25{{a}^{2}}-2a(3P+20)+{{P}^{2}}-8P+16\le 0\). (3)

Để bài toán đã cho tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P thì bất phương trình (3) có nghiệm hay \(\Delta '\ge 0\Leftrightarrow \Delta '=-16{{P}^{2}}+320P\ge 0\Leftrightarrow 0\le P\le 20\)

Suy ra \(M=20;\,m=0\) hay M+m=20.