Cho hàm số . Tích phân \(\int\limits_{ - \pi }^0 {f\left( {2\cos x - 1} \right)sinxdx} \) bằng

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=2\cos x-1\Leftrightarrow dt=-2sinxdx\)

Đổi cận \(x=-\pi \Rightarrow t=-3;\,x=0\Rightarrow t=1\)

Tích phân trở thành:

\(I=-\frac{1}{2}\int\limits_{-3}^{1}{f\left( t \right)dt}=-\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-3}^{0}{f\left( t \right)dt}+\int\limits_{0}^{1}{f\left( t \right)dt} \right)=-\frac{1}{2}\left( \int\limits_{-3}^{0}{\left( {{t}^{2}}+2 \right)dt}+\int\limits_{0}^{1}{\left( {{t}^{3}}-4 \right)dt} \right)\)

\(=-\frac{1}{2}\left( 15-\frac{15}{4} \right)=-\frac{45}{8}\)