Cho số phức \(z=a+bi(a,b\in R)\) thỏa mãn: \(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\) và \(\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\). Tính 2a+b

* Hướng dẫn giải

Giả sử z=a+bi, \(\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\).

\(\left| \frac{z-1}{z-i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-1 \right|=\left| z-i \right|\Leftrightarrow \left| \left( a-1 \right)+bi \right|=\left| a+\left( b-1 \right)i \right|\) hay

\({{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b-1 \right)}^{2}}\) tức a=b

Lại có: \(\left| \frac{z-3i}{z+i} \right|=1\Leftrightarrow \left| z-3i \right|=\left| z+i \right|\Leftrightarrow \left| a+\left( b-3 \right)i \right|=\left| a+\left( b+1 \right)i \right|\) hay

\({{a}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{\left( b+1 \right)}^{2}}\Leftrightarrow b=1\Rightarrow a=1\)

Vậy số phức z=1+i suy ra \(a=1;b=1\Rightarrow 2a+b=3\)