Biết rằng hai số phức \({{z}_{1}}, {{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}-3-4\text{i} \right|=1\) và \(\left| {{z}_{2}}-3-4\text{i} \right|=\frac{1}{2}\). Số phức z có phần thực l...

* Hướng dẫn giải

Gọi \({{M}_{1}}, {{M}_{2}}, M\) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}}, 2{{z}_{2}}, z\) trên hệ trục tọa độ Oxy. Khi đó quỹ tích của điểm \({{M}_{1}}\) là đường tròn \(\left( {{C}_{1}} \right)\) tâm \(I\left( 3;4 \right)\), bán kính R=1; quỹ tích của điểm \({{M}_{2}}\) là đường \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tròn tâm \(I\left( 6;8 \right)\), bán kính R=1; quỹ tích của điểm M là đường thẳng d:3x-2y-12=0.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2\).

Gọi \(\left( {{C}_{3}} \right)\) có tâm \({{I}_{3}}\left( \frac{138}{13};\frac{64}{13} \right)\), R=1 là đường tròn đối xứng với \(\left( {{C}_{2}} \right)\) qua d. Khi đó \(\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{2}}+2 \right)=\min \left( M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2 \right)\) với \({{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right)\).

Gọi A, B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng \({{I}_{1}}{{I}_{3}}\) với \(\left( {{C}_{1}} \right), \left( {{C}_{3}} \right)\). Khi đó với mọi điểm \({{M}_{1}}\in \left( {{C}_{1}} \right), {{M}_{3}}\in \left( {{C}_{3}} \right), M\in d\) ta có \(M{{M}_{1}}+M{{M}_{3}}+2\ge AB+2\), dấu "=" xảy ra khi \({{M}_{1}}\equiv A,{{M}_{3}}\equiv B\).

Do đó \({{P}_{\min }}=AB+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}-2+2={{I}_{1}}{{I}_{3}}=\frac{\sqrt{9945}}{13}\).