Cho hs \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}\left( x \right)\) cho như hình dưới đây.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-\left( 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1\).

Dựa vào đồ thị ta thấy: trên khoảng \(\left( -3;3 \right)\) đồ thị của hàm số \(y={f}'\left( x \right)\) và đường thẳng y=x+1 cắt nhau tại điểm duy nhất có hoành độ là x=1.

Ta có bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có: Trên khoảng \(\left( -3;3 \right)\) hàm số \(y=g\left( x \right)\) đạt GTLN tại x=1.

Vậy \(\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)\).