Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho ứng với mỗi x có không quá 10 số nguyên y thỏa mãn \(\left( {{3}^{y+3}}-3 \right)\left( {{3}^{y}}-x \right)>0\,\,?\)

* Hướng dẫn giải

\(\left( {{3}^{y+3}}-3 \right)\left( {{3}^{y}}-x \right)>0\,\,\) với \(\left\{ \begin{align} & x\in {{\mathbb{Z}}^{+}} \\ & y\in \mathbb{Z} \\ \end{align} \right.\)

Trường hợp 1:\(\left\{ \begin{array}{l} {3^{y + 3}} - 3 < 0\\ {3^y} - x > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 3 < 1\\ y > {\log _3}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y < - 2\\ y > {\log _3}x \end{array} \right.\)

Theo yêu cầu bài toán, một x có không quá 10 số nguyên y, mà y<-2

\(\Rightarrow -13<{{\log }_{3}}x\le -3\)

\(\Leftrightarrow {{3}^{-13}}<x\le {{3}^{-3}}.\) Mà x nguyên dương \(\Rightarrow \) Không tồn tại x thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{y + 3}} - 3 > 0\\ {3^y} - x < 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y + 3 > 1\\ y < {\log _3}x \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y > - 2\\ y < {\log _3}x \end{array} \right.\)

Theo yêu cầu bài toán, một x có không quá 10 số nguyên y, mà y>-2

\(\begin{align} & \Rightarrow -1\le {{\log }_{3}}x\le 9 \\ & \Leftrightarrow 0<x\le {{3}^{9}}=19683 \\ \end{align}\)

Vì x nguyên dương \(\Rightarrow x\in \left\{ 1;...;19683 \right\}\Rightarrow \) Có 19683 giá trị.