Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có \(AB=a,\,BC=a\sqrt{3}\). Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right...

* Hướng dẫn giải

Gọi K là trung điểm của đoạn AB. Vì \(\Delta SAB\) là tam giác đều nên \(SK\bot AB\)

\(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right)\) theo giao tuyến AB.

\(SK\bot \left( ABC \right)\Rightarrow {{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}\)

\(\Delta ABC\) vuông tại A có \(AB=a,\,BC=a\sqrt{3}\Rightarrow AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}a.a\sqrt{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}\)

\(\Delta SAB\) là tam giác đều \(\Rightarrow SK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

\({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}SK.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{2}}{2}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{12}\)