Xét các số phức \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}}\) thỏa \(\left| {{z}_{1}}+1-2i \right|+\left| {{z}_{1}}-3-3i \right|=2\left| {{z}_{2}}-1-\frac{5}{2}i \right|=\sqrt{17}.\) Giá trị lớn...

* Hướng dẫn giải

Đặt \({{z}_{1}}=a+bi,\text{ }{{z}_{2}}=c+di\left( a,b,c,d\in \mathbb{R} \right);\) Gọi \(M\left( a;b \right),\text{ }N\left( c;d \right),\text{ }A\left( -1;2 \right),\text{ }B\left( 3;3 \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({{z}_{1}},\text{ }{{z}_{2}},\text{ }-1+2i,\text{ }3+3i\) trong mặt phẳng tọa độ.

\(\left| {{z}_{1}}+1-2i \right|+\left| {{z}_{1}}-3-3i \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow MA+MB=\sqrt{17}=AB\xrightarrow{{}}M\) thuộc đoạn thẳng AB.

\(2\left| {{z}_{2}}-1-\frac{5}{2}i \right|=\sqrt{17}\Leftrightarrow NI=\frac{\sqrt{17}}{2}=\frac{AB}{2}\) với \(I\left( 1;\frac{5}{2} \right).\) Ta thấy I là trung điểm của AB. Suy ra N thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm I, đường kính AB (như hình bên dưới).

Ta có \(P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}+2-i \right|=MN+MD\) với \(D\left( -2;1 \right).\)

Nhận thấy M nằm trên đoạn thẳng AB và \(N\in \left( C \right)\)

\(\Rightarrow MN\le AB=\sqrt{17}\) và \(MD\le \max \left\{ AD,BD \right\}=BD=\sqrt{29}.\)

Suy ra \(P=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|+\left| {{z}_{1}}+2-i \right|=MN+MD\le \sqrt{17}+\sqrt{29}.\) Dấu ''='' xảy ra khi \(\left\{ \begin{align} & M\equiv B \\ & N\equiv A \\ \end{align} \right..\)

Vậy \({{P}_{\text{max}}}=\sqrt{17}+\sqrt{29}.\)