Hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( 0;+\infty \right)\). Biết rằng tồn tại hằng số a>0 để \(\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6,...

* Hướng dẫn giải

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức \(\int\limits_{a}^{x}{\frac{f\left( t \right)}{{{t}^{4}}}}dt=2\sqrt{x}-6\) ta được.

\(\frac{f\left( x \right)}{{{x}^{4}}}=\frac{1}{\sqrt{x}}\Rightarrow f\left( x \right)={{x}^{3}}\sqrt{x}\). Suy ra  \(\int\limits_{a}^{x}{\frac{1}{\sqrt{t}}}dt=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow 2\sqrt{x}-2\sqrt{a}=2\sqrt{x}-6\Leftrightarrow a=\)\)

Vậy \(\int\limits_{1}^{a}{f\left( x \right)dx}=\int\limits_{1}^{9}{{{x}^{3}}\sqrt{x}dx}=\frac{39364}{9}\).