Cho số phức \(z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}},\,\) m nguyên dương. Có bao nhiêu giá trị \(m\in \left[ 1;50 \right]\) để z là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Ta có: \(z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{(2i)}^{m}}={{2}^{m}}.{{i}^{m}}\,\)

z là số thuần ảo khi và chỉ khi \(m=2k+1,\,\,k\in \mathbb{N}\) (do \(z\ne 0;\text{ }\forall m\in {{\mathbb{N}}^{*}}\)).

Vậy có 25 giá trị m thỏa yêu cầu đề bài.