Cho số phức z thỏa \(\left| z \right|=1\). Gọi m, M lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}...

* Hướng dẫn giải

Vì \(\left| z \right|=1\) và \(z.\bar{z}={{\left| z \right|}^{2}}\) nên ta có \(\bar{z}=\frac{1}{z}\).

Từ đó, \(P=\left| {{z}^{5}}+{{{\bar{z}}}^{3}}+6z \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| z \right|\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|=\left| {{z}^{4}}+{{{\bar{z}}}^{4}}+6 \right|-2\left| {{z}^{4}}+1 \right|\)

Đặt \({{z}^{4}}=x+iy\), với \(x,\,y\in \mathbb{R}\). Do \(\left| z \right|=1\) nên \(\left| {{z}^{4}} \right|=\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=1\) và \(-1\le x,\,y\le 1\)

Khi đó \(P=\left| x+iy+x-iy+6 \right|-2\left| x+iy+1 \right|=\left| 2x+6 \right|-2\sqrt{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

\(=2x+6-2\sqrt{2x+2}={{\left( \sqrt{2x+2}-1 \right)}^{2}}+3\)

Do đó \(P\ge 3\) Lại có \(-1\le x\le 1\Rightarrow 0\le \sqrt{2x+2}\le 2\Rightarrow -1\le \sqrt{2x+2}-1\le 1\Rightarrow P\le 4\)

Vậy M=4 khi \({{z}^{4}}=\pm 1\) và m=3 khi \({{z}^{4}}=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\). Suy ra \(M-m=1\)