Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, \(AC=\frac{a\sqrt{2}}{2}\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và đường thẳng SB tạo với mặt phẳng \((ABC\text{D})\) một góc \(...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(A\text{D // BC}\Rightarrow \text{AD // }(SBC)\Rightarrow d(A\text{D};SC)=d\left( A;(SBC) \right)\).

Kẻ \(AP\bot SB\Rightarrow d\left( A;(SBC) \right)=AP\Rightarrow d(A\text{D};SC)=AP\)

Ta có \(\frac{1}{A{{P}^{2}}}=\frac{1}{S{{A}^{2}}}+\frac{1}{A{{B}^{2}}}\). Cạnh \(AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}=\frac{a}{2}\).

Lại có \(\left( SB;\widehat{(AB}CD) \right)=\widehat{SBA}=60{}^\circ \)

\(\Rightarrow \tan 60{}^\circ =\frac{SA}{AB}\Rightarrow SA=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow AP=\frac{a\sqrt{3}}{4}\).