Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|\) và \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Đặt \(z=x+yi\text{ }(x,y\in \mathbb{R})\)

Ta có \(\left| z-3i \right|=\left| 1-i.\overline{z} \right|\Leftrightarrow \left| x+yi-3i \right|=\left| 1-i.(x+yi) \right|\Leftrightarrow \left| x+(y-3)i \right|=\left| 1+y-xi \right|\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{{{(x-3)}^{2}}+{{y}^{2}}}=\sqrt{{{(1+y)}^{2}}+{{(-x)}^{2}}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6y+9={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2y+1\Leftrightarrow y=2\)

Lại có \(z-\frac{9}{z}=x+2i-\frac{9}{x+2i}=x+2i-\frac{9(x-2i)}{(x+2i)(x-2i)}=x+2i-\frac{9\text{x}-18i}{{{x}^{2}}+4}\)

Vì \(z-\frac{9}{z}\) là số thuần ảo \( \Rightarrow x - \frac{{9{\rm{x}}}}{{{x^2} + 4}} = 0 \Leftrightarrow {x^3} - 5{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = \pm \sqrt 5 \end{array} \right.\).

Vậy có tất cả 3 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.