Cho a và b là hai số thực dương khác 1 và các hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x}}\) có đồ thị như hình vẽ. ​ Đường thẳng \(y=3\) cắt trục tung, đồ thị hàm số \(y={{a}^{x}},y={{b}^{x...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(H\left( 0;3 \right),M\left( {{x}_{M}};3 \right),N\left( {{x}_{N}};3 \right);\overrightarrow{HM}=2\overrightarrow{MN}\Rightarrow {{x}_{M}}=2\left( {{x}_{N}}-{{x}_{M}} \right)\Rightarrow 3{{x}_{M}}=2{{x}_{N}}.\)

Mà \(\left\{ \begin{array}{l} {a^{{x_M}}} = 3\\ {b^{{x_N}}} = 3 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x_M} = {\log _a}3\\ {x_N} = {\log _b}3 \end{array} \right. \Rightarrow 3{\log _a}3 = 2{\log _b}3 \Rightarrow \frac{3}{{{{\log }_3}a}} = \frac{2}{{{{\log }_3}b}}\)

\(\Rightarrow 2{{\log }_{3}}a=3{{\log }_{3}}b\Rightarrow {{\log }_{3}}{{a}^{2}}={{\log }_{3}}{{b}^{3}}\Rightarrow {{a}^{2}}={{b}^{3}}.\)