Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và mặt phẳng \((P):x+y+z+2=0.\) Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng \(d,{d}'\) có phương trình là

* Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng cần tìm và \(A=\Delta \cap d,\,B=\Delta \cap d'\)

Vì \(A\in d,\,B\in d'\) nên gọi \(A\left( -1-2t;\,t;\,-1+3t \right)\) và \(B\left( 2+t';\,-1+2t';\,-2t' \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left( t'+2t+3;2t'-t-1;-2t'-3t+1 \right)\)

Do \(\Delta \bot \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow{AB},\,\overrightarrow{n}\) cùng phương \(\Leftrightarrow \frac{t'+2t+3}{1}=\frac{2t'-t-1}{1}=\frac{-2t'+3t+1}{1}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3t - t' = - 4\\ 2t + 4t' = 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} t = - 1\\ t' = 1 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} A\left( {1; - 1; - 4} \right)\\ B\left( {3;1; - 2} \right) \end{array} \right.\)

Đường thẳng Δ đi qua điểm B và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{n}=\left( 1;1;1 \right)\) nên có phương trình \(\frac{x-3}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+2}{1}\)