Cho hàm số \(y={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c\)có đồ thị (C). Biết rằng tiếp tuyến d của (C) tại điểm A có hoành độ bằng -1 cắt (C) tại B có hoành độ bằng 2 (xem hình vẽ). Diện tích hìn...

* Hướng dẫn giải

Ta có \(A(-1;a-b+c-1)\)và \(y'=3{{x}^{2}}+2ax+b\Rightarrow y'(-1)=3-2a+b\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại A: \(y=(3-2a+b)(x+1)+a-b+c-1\,\,\,(d)\)

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (d) là:

\({{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=(3-2a+b)(x+1)+a-b+c-1\,\,\,(1)\)

Phương trình (1) có nghiệm \(x=-1;x=2\Leftrightarrow 4a+2b+c+8=3(3-2a+b)+a-b+c-19a=0\Leftrightarrow a=0\)

Suy ra \(\left( C \right):y={{x}^{3}}+bx+c\) và \(d:y=\left( 3+b \right)\left( x+1 \right)-b+c-1\)

Diện tích hình phẳng là: \(S=\int\limits_{-1}^{2}{\left[ (3+b)(x+1)-b+c-1-\left( {{x}^{3}}+bx+c \right) \right]}dx=\int\limits_{-1}^{2}{(3x-{{x}^{3}}+2})dx=\frac{27}{4}\)