Cho hàm số , trong đó m,n là hai tham số thực. Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đúng hai điểm cực trị?

* Hướng dẫn giải

TH1. Khi \(x>1\) hàm số là nhị thức bậc nhất và không có cực trị

TH2. Khi \(x<1\) hàm số có tối đa 1 điểm cực trị (cụ thể là điểm cực tiểu tại \(x=m\))

TH3. Khi \(x=1\) hàm số có thể có 1 điểm cực trị

TH4. Hình minh họa:

Suy ra hàm số phải liên tục tại điểm \(x=1\), đạt cực trị tại \(x=m<1\), hệ số góc \(n<0\)

Suy ra: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 1}\\ {\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)}\\ {n < 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 1}\\ {n + 10 = 4 - 2m}\\ {n < 0} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 1}\\ {n = - 6 - 2m < 0}\\ {n < 0} \end{array}} \right.} \right.\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n < 0}\\ { - 3 < m < 1} \end{array}} \right.\)

Suy ra các giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn là \(m=\left\{ -2;-1;0 \right\}\). Có 3 giá trị nguyên thỏa mãn