Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x=1\) và \({f}'(1)\ne 0\). Gọi \({{d}_{1}},\text{ }{{\text{d}}_{2}}\) lần lượt là hai tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và \(y=g(x)=x.f...

* Hướng dẫn giải

Ta có \({g}'(x)=f(2x-1)+2\text{x}.{f}'(2\text{x}-1)\Rightarrow {g}'(1)=f(1)+2{f}'(1)\).

\({{d}_{1}}\) có hệ số góc là \({f}'(1)\) và \({{d}_{2}}\) có hệ số góc là \({g}'(1)=f(1)+2{f}'(1)\).

Mà \({{d}_{1}}\bot {{d}_{2}}\Rightarrow {f}'(1).{g}'(1)=-1\Leftrightarrow {f}'(1).\left[ f(1)+2{f}'(1) \right]=-1\Rightarrow f(1)=\frac{-2{{\left[ {f}'(1) \right]}^{2}}-1}{{f}'(1)}\)

\(\Rightarrow \left| f(1) \right|=\left| \frac{2{{\left[ {f}'(1) \right]}^{2}}+1}{{f}'(1)} \right|=\frac{2{{\left[ {f}'(1) \right]}^{2}}+1}{\left| {f}'(1) \right|}\ge \frac{2\sqrt{2{{\left[ {f}'(1) \right]}^{2}}.1}}{\left| {f}'(1) \right|}=2\sqrt{2}\).