Gọi \(S\) là tập chứa tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \(\log \left( 60{{x}^{2}}+120x+10m-10 \right)>1+3\log \left( x+1 \right)\) có miền nghiệm chứa đún...

* Hướng dẫn giải

Điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x > - 1}\\ {6{x^2} + 12x + m - 1 > 0} \end{array}} \right.\) (*)

BPT\(\Leftrightarrow 1+\log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>1+\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}\)\(\Leftrightarrow \log \left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>\log {{\left( x+1 \right)}^{3}}\)

\(\left( 6{{x}^{2}}+12x+m-1 \right)>{{\left( x+1 \right)}^{3}}\)\(\Rightarrow \) Hệ điều kiện \(\left( * \right)\) trở thành \(x>-1\)

\(\Leftrightarrow 6{{x}^{2}}+12x+m-1>{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3x+1\Leftrightarrow m-2>{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-9x=f\left( x \right)\)

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra điều kiện \(-11<m-2\le 0\Leftrightarrow -9<m\le 2\Rightarrow -8\le m\le 2\)

Suy ra có 11 giá trị nguyên của tham số m thỏa mãn bài toán