Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3m{{x}^{2}}+\left( m+2 \right)x+3m-1\). Tổng các giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có \(y'=3{{x}^{2}}-6mx+m+2\).

Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y'\ge 0,\forall x\in R\).

\(\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6mx+m+2\ge 0,\forall x\in R\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a > 0\\ \Delta ' \le 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3 > 0\left( {Đúng} \right)\\ 9{m^2} - 3\left( {m + 2} \right) \le 0 \end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow 9{{m}^{2}}-3m-6\le 0\).

\(\Leftrightarrow \frac{-2}{3}\le m\le 1\) .

Vì \(m\in Z\) nên \(m\in \left\{ 0;1 \right\}\) .

Vậy tổng các giá trị nguyên của tham số m bằng 1.