Cho hàm số \(f\left( x \right)\), đồ thị của hàm số \(y={f}\left( x \right)\) là đường cong trog hình bên.

* Hướng dẫn giải

Xét hàm số \(g\left( x \right)=f\left( {{x}^{2}} \right)-2{{x}^{2}}\) với \(x\in \left[ -1;2 \right]\Rightarrow {{x}^{2}}\in [0;4]\)

Ta có: \({g}'\left( x \right)=2x.{f}'\left( {{x}^{2}} \right)-4x=2x\left[ {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2 \right]\).

\(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ f'\left( {{x^2}} \right) = 2 \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ {x^2} = 0\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = - 2 \notin \left[ { - 1;2} \right]\\ x = 2 \end{array} \right.\).

Với \({{x}^{2}}\in [0;4]\) thì \({f}'\left( {{x}^{2}} \right)\ge 2\Rightarrow {f}'\left( {{x}^{2}} \right)-2\ge 0\).

Bảng biến thiên của \(g\left( x \right)\)

So sánh: \(f\left( 1 \right)-2\) với \(f\left( 4 \right)-8\)

Hình phẳng \(\left( H \right)\) giới hạn bởi: \(y={f}'\left( x \right)\), \(y=2\), \(x=1\), \(x=4\) có diện tích là S.

\(S=\int\limits_{1}^{4}{\left| f'\left( x \right)-2 \right|.dx}=\int\limits_{1}^{4}{\left[ {f}'\left( x \right)-2 \right].dx}=\left. \left( f\left( x \right)-2x \right) \right|_{1}^{4}=f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)\).

\(S>0\Rightarrow f\left( 4 \right)-8-\left( f\left( 1 \right)-2 \right)>0\Leftrightarrow f\left( 4 \right)-8>f\left( 1 \right)-2\).

Vậy: \(\underset{[-1;2]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=f\left( 0 \right)\) và \(\underset{[-1;2]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=f\left( 4 \right)-8\).