Tìm giá trị nhỏ nhất của số nguyên dương m sao cho có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thoả mãn \(0\le x\le m\) và \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{...

* Hướng dẫn giải

Ta có: \({{\log }_{3}}\left( 3x+6 \right)-2y=\frac{{{9}^{y}}-x}{2}\)\(\Leftrightarrow 2\left[ {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)+1 \right]-4y={{3}^{2y}}-x\)\(\Leftrightarrow x+2+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{9}^{y}}+4y\Leftrightarrow {{3}^{{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)}}+2{{\log }_{3}}\left( x+2 \right)={{3}^{2y}}+2.2y\)\(\left( 1 \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+2t\) trên \(\mathbb{R}\).

Ta có \({f}'\left( t \right)={{3}^{t}}\ln 3+2>0\)\(\forall t\in \mathbb{R}\), suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Từ \(\left( 1 \right)\) ta có: \(f\left( {{\log }_{3}}\left( x+2 \right) \right)=f\left( 2y \right)\), suy ra \({{\log }_{3}}\left( x+2 \right)=2y\).

Vì \(0\le x\le m\) nên \({{\log }_{3}}2\le {{\log }_{3}}\left( x+2 \right)\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\) \(\Rightarrow {{\log }_{3}}2\le 2y\le {{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).

\(\Leftrightarrow \frac{1}{2}{{\log }_{3}}2\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).

Do \(y\) nguyên dương nên \(1\le y\le \frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)\).

Để có đúng 5 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thì \(\frac{1}{2}{{\log }_{3}}\left( m+2 \right)=5\Leftrightarrow m={{3}^{10}}-2\)

Vậy \(m={{3}^{10}}-2\).