Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(|z|={{2021}^{2}}\) và \(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)\) là số thuần ảo?

* Hướng dẫn giải

Gọi số phức \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in \mathbb{R} \right)\,\,\,\Rightarrow \,\bar{z}=a-bi\)

Theo đề bài, \(|z|={{2021}^{2}}\,\,\Leftrightarrow \,\,{{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}}\,\,\,\left( 1 \right)\)

Xét:

\(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)=z\,\bar{z}-\frac{1}{2021}z+2021i\,\bar{z}-i=2021-\frac{1}{2021}\left( a+bi \right)+2021i\left( a-bi \right)-i\)\(=\left( 2021-\frac{1}{2021}a+2021b \right)+\left( 2021a-\frac{1}{2021}b-1 \right)i\)

\(\left( z+2021i \right)\left( \bar{z}-\frac{1}{2021} \right)\) là số thuần ảo \(\Leftrightarrow 2021-\frac{1}{2021}a+2021b=0\Leftrightarrow a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)\)

Thế \(a={{2021}^{2}}\left( b+1 \right)\) vào phương trình \(\left( 1 \right)\), ta được: \({{2021}^{4}}{{\left( b+1 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}={{2021}^{4}}\Leftrightarrow \left( {{2021}^{4}}+1 \right){{b}^{2}}+{{2.2021}^{4}}b=0\)

Phương trình này có hai nghiệm.. Vậy có 2 số phức thỏa mãn.