Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, \(SA\bot \left( ABC \right)\). Mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) cách \(A\) một khoảng bằng \(a\) và hợp với mặt phẳng \(\lef...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(I\) là trung điểm sủa \(BC\) suy ra góc giữa mp \(\left( SBC \right)\) và mp \(\left( ABC \right)\) là \(\widehat{SIA}=30{}^\circ \).

\(H\) là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SI\) suy ra \(d\left( A,\left( SBC \right) \right)=AH=a\).

Xét tam giác \(AHI\) vuông tại \(H\) có: \(AI=\frac{AH}{\sin 30{}^\circ }=2a\).

Xét tam giác \(SAI\) vuông tại \(A\) có: \(SA=AI.\tan 30{}^\circ =\frac{2a}{\sqrt{3}}\).

Giả sử tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(x\), mà \(AI\) là đường cao nên: \(2a=x\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\frac{4a}{\sqrt{3}}\).

Diện tích tam giác đều \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}={{\left( \frac{4a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}\).

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{ABC}}.SA\)\(=\frac{1}{3}.\frac{4{{a}^{2}}\sqrt{3}}{3}.\frac{2a}{\sqrt{3}}\)\(=\frac{8{{a}^{3}}}{9}\).