Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;3;0 \right), B\left( 0;-3;0 \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) nhận AB là đường kính. Hình trụ \(\left( H \right)\) l...

* Hướng dẫn giải

Bán kính của mặt cầu là \(R=\frac{AB}{2}=3\).

Gọi chiều cao của hình trụ là \(2h, h>0\). Do đó bán kính của hình trụ là \(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{h}^{2}}}=\sqrt{9-{{h}^{2}}}\).

Thể tích khối trụ là \(V=\pi .{{r}^{2}}.2h=\pi .\left( 9-{{h}^{2}} \right).2h=\pi \sqrt{2}\sqrt{\left( 9-{{h}^{2}} \right)\left( 9-{{h}^{2}} \right).2{{h}^{2}}}\).

\(V\le \pi \sqrt{2}.\sqrt{{{\left( \frac{9-{{h}^{2}}+9-{{h}^{2}}+2{{h}^{2}}}{3} \right)}^{3}}}=\pi \sqrt{2}.6\sqrt{6}=12\pi \sqrt{3}\).

Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow 9-{{h}^{2}}=2{{h}^{2}}\Leftrightarrow h=\sqrt{3}\).

Khi đó hình trụ có thể tích lớn nhất là \(12\pi \sqrt{3}\).

Vậy hai mặt đáy của trụ có phương trình tương ứng là \(y=\sqrt{3};y=-\sqrt{3}\).