Cho hai số thực dương \(m,n\left( n\ne 1 \right)\) thỏa mãn \(\frac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}10-1}=3+\frac{1}{{{\log }_{n}}5}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?

* Hướng dẫn giải

Với \(m,n\) dương \(\left( n\ne 1 \right).\) Ta có:

\(\frac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}10-1}=3+\frac{1}{{{\log }_{n}}5}\Leftrightarrow \frac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}10-{{\log }_{2}}2}={{\log }_{5}}{{5}^{3}}+{{\log }_{5}}n\Leftrightarrow \frac{{{\log }_{7}}m.{{\log }_{2}}7}{{{\log }_{2}}5}={{\log }_{5}}125n\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{7}}m.{{\log }_{5}}7={{\log }_{5}}125n\Leftrightarrow {{\log }_{7}}m=\frac{{{\log }_{5}}125n}{{{\log }_{5}}7}\Leftrightarrow {{\log }_{7}}m-{{\log }_{7}}125n\Leftrightarrow m=125n.\)

Vậy \(m=125n.\)