Tính tổng các giá trị nguyên của hàm số m trên \(\left[ -20;20 \right]\) để hàm số \(y=\frac{\sin x+m}{\sin x-1}\) nghịch biến trên khoảng \(\left( \frac{\pi }{2};\pi \right).\)

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t=\sin x,t\in \left( 0;1 \right).\) Khi đó hàm số trở thành \(y=\frac{t+m}{t-1}.\)

Ta có \(y'=\frac{-1-m}{{{\left( t-1 \right)}^{2}}}.\) Do đó hàm số nghịch biến trên \(\left( 0;1 \right)\) khi và chỉ khi \(y'>0\Leftrightarrow -1-m>0\Leftrightarrow m<-1.\) Vì m nguyên trên \(\left[ -20;20 \right]\) nên \(m\in \left\{ -20;...;-3;-2 \right\}.\)

Khi đó \(-20-19-...-3-2=-209.\)