Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D', gọi I là trung điểm BB'. Mặt phẳng \(\left( DIC' \right)\) chia khối lập phương thành 2 phần. Tính tỉ số thể tích phần bé chia phần lớn.

* Hướng dẫn giải

Đặt \(AB=a,\) thể tích hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) bằng \(V={{a}^{3}}.\)

Gọi \(\left\{ J \right\}=\left( DIC' \right)\cap AB,\) dễ thấy \(IJ//DC'//AB'\Rightarrow IJ//AB'\) mà I là trung điểm \(BB'\) suy ra J là trung điểm AB.

Theo công thức tính tích khối chóp cụt có: \({{V}_{BIJ.CDC'}}=\frac{h}{3}\left( B+B'+\sqrt{BB'} \right)\) với \(\left\{ \begin{array}{l} B = {S_{CDC'}} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ B' = \frac{{{a^2}}}{8}\\ h = BC = a \end{array} \right.\) suy ra \({{V}_{BJI.CDC'}}=\frac{7}{24}{{a}^{3}}.\)

Thể tích phần còn lại là: \({{V}_{1}}=V-{{V}_{BJI.CDC'}}=\frac{17}{24}{{a}^{3}}.\)

Vậy tỉ số cần tìm là: \(\frac{7}{17}.\)