Cho các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({{4}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}}={{2}^{3-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}-{{4}^{2-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}}}.\) Gọi \)m,M\) lần lượ...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t={{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}},\) điều kiện \(t>0\) khi đó \({{4}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}}}-{{2}^{{{x}^{2}}+4{{y}^{2}}+1}}={{2}^{3-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}-{{4}^{2-{{x}^{2}}-4{{y}^{2}}}}\) đưa về:

\({{t}^{2}}-2t=\frac{8}{t}-\frac{16}{{{t}^{2}}}\Leftrightarrow {{\left( t+\frac{4}{t} \right)}^{2}}-2\left( t+\frac{4}{t} \right)-8=0\left( 1 \right)\)

Với điều kiện \(t>0\) nên \(\left( 1 \right)\Leftrightarrow t+\frac{4}{t}=4\Leftrightarrow t=2.\)

Suy ra \({{x}^{2}}+4{{y}^{2}}=1\) suy ra tồn tại \(0\le a\le 2\pi \) để \(\left\{ \begin{array}{l} x = \sin a\\ 2y = \cos a \end{array} \right..\)

Khi đó \(P=\frac{\sin a-\cos a-1}{\sin a+\frac{1}{2}\cos a+4}=\frac{2\sin a-2\cos a-2}{2\sin a+\cos a+8}\)

\(\Leftrightarrow \left( 2P-2 \right)\sin a+\left( P+2 \right)\cos a=-2-8P.\)

Điều kiện để tồn tại giá trị của \(a\) thỏa mãn khi và chỉ khi \({{\left( -2-8P \right)}^{2}}\le {{\left( 2P-2 \right)}^{2}}+{{\left( P+2 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 59{{P}^{2}}+36P-2\le 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{-18-\sqrt{442}}{59}\le P\le \frac{-18+\sqrt{442}}{59}.\)

Vậy \(\left\{ \begin{array}{l} m = \frac{{ - 18 - \sqrt {442} }}{{59}}\\ M = \frac{{ - 18 + \sqrt {442} }}{{59}} \end{array} \right. \Rightarrow m + M = \frac{{ - 36}}{{59}}.\)