Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Bất phương trình \(f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3...

* Hướng dẫn giải

Đặt \(h\left( x \right)=f\left( x \right)+{{x}^{2}}+3.\)

Bất phương trình đã cho có nghiệm đúng \(\forall x\in \left( -1;1 \right)\) khi và chỉ khi \(m>\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right).\)

Ta có:

+) \(h'\left( x \right)>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2x>0\Leftrightarrow f'\left( x \right)>-2x\)

+) \(h'\left( x \right)<0\Leftrightarrow f'\left( x \right)+2x<0\Leftrightarrow f'\left( x \right)<-2x\)

Ta có bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra: \(\underset{\left( -1;1 \right)}{\mathop{\max }}\,h\left( x \right)=h\left( 0 \right)=f\left( 0 \right)+3.\)

Vậy \(m>f\left( 0 \right)+3.\)