Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự có một tình huống chiến sĩ phải bơi qua một sông để tấn công mục tiêu ở ngay phía bờ bên kia sông. Biết rằng lòng sông rộng 100m và vận t...

* Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của chiến sĩ khi bơi là \(a\left( m/s \right),\left( a>0 \right).\)

\(\Rightarrow \) Vận tốc của chiến sĩ khi chạy bộ là: 3a (m/s). 

Ta có hình vẽ, khi đó chiến sĩ ở vị trí A, mục tiêu ở vị trí C. 

Quãng đường chiến sĩ phải bơi là AD, quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là DC. 

Ta có: \(BC=\sqrt{A{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{1000}^{2}}-{{100}^{2}}}=300\sqrt{11}\left( m \right).\)

Đặt \(BD=x\left( m \right),\left( 0<x<300\sqrt{11} \right)\)

\(\Rightarrow \) Quãng đường chiến sĩ phải bơi là: \(AD=\sqrt{A{{B}^{2}}+B{{D}^{2}}}=\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}\left( m \right).\)

Quãng đường chiến sĩ phải chạy bộ là: \(CD=BC-BD=300\sqrt{11}-x\left( m \right).\)

- Thời gian chiến sĩ đến được mục tiêu là:

\(t=\frac{AD}{a}+\frac{DC}{3a}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}}{a}+\frac{300\sqrt{11}-x}{3a}\)

\(=\frac{1}{3a}\left( 3\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}+300\sqrt{11}-x \right)\)

Xét hàm số: \(f\left( x \right)=3\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}-x+300\sqrt{11}\) trên \(\left( 0;300\sqrt{11} \right)\) ta có:

\(f'\left( x \right)=\frac{3x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}}-1\Rightarrow f'\left( x \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 3x=2\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}\Leftrightarrow 9{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}+{{4.100}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}={{4.100}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{4}{5}{{.100}^{2}}\Leftrightarrow x=\frac{2\sqrt{5}}{5}.100=40\sqrt{5}\left( tm \right)\)

\(\Rightarrow \)Quãng đường bơi mà chiến sĩ phải bơi để đến được mục tiêu nhanh nhất là: 

\(AD=\sqrt{{{x}^{2}}+{{100}^{2}}}=\sqrt{\frac{4}{5}{{.100}^{2}}+{{100}^{2}}}=\sqrt{\frac{9}{5}{{.100}^{2}}}=60\sqrt{5}m.\)