Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(a,SA\bot \left( ABCD \right),SA=a.\) Gọi G là trọng tâm tam giác ABD, khi đó khoảng cách từ điểm G đến mặt phẳng (SBC) bằng:

* Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD. 

Khi đó: \(AG=\frac{2}{3}AO\) (tính chất trọng tâm tam giác) 

\(\Rightarrow \frac{AG}{AC}=\frac{\frac{2}{3}AO}{AC}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{GC}{AC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{d\left( G;\left( SBC \right) \right)}{d\left( A;\left( SBC \right) \right)}=\frac{2}{3}\)

Kẻ \(AH\bot SB\)

Ta có: \(SA\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow SA\bot BC\)

Lại có: \(BC\bot AB\)

\(\Rightarrow BC\bot \left( SAB \right)\Rightarrow BC\bot AH\)

\(\Rightarrow AH\bot \left( SBC \right)\Rightarrow AH=d\left( A;\left( ABC \right) \right)\)

\(\Rightarrow d\left( G;\left( SBC \right) \right)=\frac{2}{3}AH.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta SAB\) vuông tại A, có đường cao AH ta có: 

\(AH=\frac{SA.AB}{\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}}}=\frac{{{a}^{2}}}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{a}^{2}}}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

\(\Rightarrow d\left( G;\left( SBC \right) \right)=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{3}.\)