Cho khối chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng \(a\) và cạnh bên tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\). Thể tích của khối chóp đó bằng

* Hướng dẫn giải

Gọi \(H\) là trung điểm \(BC\) và \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\) Ta có \(SG\bot \left( ABC \right).\)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\) và \(AG=\frac{2}{3}AH=\frac{2}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\)

\(\widehat{\left( SA,\left( ABC \right) \right)}=\widehat{SAG}={{60}^{0}}.\)

Trong tam giác vuông \(SGA,\) ta có \(SG=AG.\tan \widehat{SAG}=\frac{a\sqrt{3}}{3}.\sqrt{3}=a.\)

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.SG.{{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{3}.a.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12}.\)