Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) (\(m\) là tham số thực) thoả mãn \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{9}{2}\)....

Câu hỏi :

Cho hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) (\(m\) là tham số thực) thoả mãn \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{9}{2}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. \(0<m\le 2\).

B. \(m\le 0\).

C. \(m>4\).

D. \(2<m\le 4\).

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(x+1\ne 0\Leftrightarrow x\ne -1.\)

TH1: \(m=1\) thì \(y=1\) (loại).

TH2: \(m\ne 1\) thì hàm số \(y=\frac{x+m}{x+1}\) luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên \(\left( -\infty ;-1 \right)\) và \(\left( -1;+\infty  \right).\)

Mà \(\left[ 1;2 \right]\subset \left( -1;+\infty  \right)\) nên \(\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\min }}\,y+\underset{\left[ 1;2 \right]}{\mathop{\max }}\,y=\frac{9}{2}\Leftrightarrow y\left( 1 \right)+y\left( 2 \right)=\frac{9}{2}\)

                                                                        \(\Leftrightarrow \frac{1+m}{1+1}+\frac{2+m}{2+1}=\frac{9}{2}\)

                                                                        \(\Leftrightarrow \frac{1+m}{2}+\frac{2+m}{3}=\frac{9}{2}\)

                                                                        \(\begin{align} & \Leftrightarrow 3\left( 1+m \right)+2\left( 2+m \right)=2.9 \\ & \Leftrightarrow 5m+7=27 \\ & \Leftrightarrow m=4. \\ \end{align}\)

Copyright © 2021 HOCTAP247