Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y=\frac{1+\sqrt{x+1}}{{{x}^{2}}-2x-m}\) có đúng hai tiệm cận đứng là

* Hướng dẫn giải

ĐKXĐ: \(x\ge -1.\)

Vì \(1+\sqrt{x+1}>0\) với \(\forall x\ge -1\) nên để đồ thị hàm số có đún hai tiệm cận đứng thì phương trình \({{x}^{2}}-2x=m\left( 1 \right)\) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1.

Xét hàm số \(f\left( x \right)={{x}^{2}}-2x\) trên \(\left[ -1;+\infty  \right).\)

\(f'\left( x \right)=2x-2=0\Rightarrow x=1.\)

BBT

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -1 khi \(f\left( 1 \right)<m\le f\left( -1 \right)\Leftrightarrow -1<m\le 3.\)