Cho hàm số \(y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-2x-3}\). Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

* Hướng dẫn giải

Tập xác định \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;3 \right\}.\)

\(y=\frac{x+1}{{{x}^{2}}-2x-3}=\frac{x+1}{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}=\frac{1}{x-3}.\)

Vì \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=0\) và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=0\) nên đường thẳng \(y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vì \(\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{3}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=+\infty \) và \(\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{3}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{x-3}=-\infty \) nên đường thẳng \(x=3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là 2.