Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(AB=AC=B{B}'=a;\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi \(I\) là trung điểm của \(C{C}'\). Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng \((ABC)\) và \((A{B}'I...

* Hướng dẫn giải

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( AB'I \right).\)

Do tam giác \(ABC\) là hình chiếu của tam giác \(AB'I\) trên mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) nên ta có

\({{S}_{ABC}}={{S}_{AB'I}}.\cos \alpha \)

\({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {{120}^{0}}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.\)

\(AB{{'}^{2}}=AA{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}=2{{a}^{2}}.\)

\(A{{I}^{2}}=A{{C}^{2}}+C{{I}^{2}}={{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{5{{a}^{2}}}{4}\)

\(C'B{{'}^{2}}=C'A{{'}^{2}}+A'B{{'}^{2}}-2.A'B'.A'C'.\cos {{120}^{0}}=3{{a}^{2}}.\)

\(B'{{I}^{2}}=B'C{{'}^{2}}+C'{{I}^{2}}=3{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}=\frac{13{{a}^{2}}}{4}.\)

Có \(AB{{'}^{2}}+A{{I}^{2}}=B'{{I}^{2}}\Rightarrow \Delta AB'I\) vuông tại \(A.\)

\({{S}_{AB'I}}=\frac{1}{2}.AB'.AI=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{10}}{4}.\) Do đó \(\cos \alpha =\frac{{{S}_{ABC}}}{{{S}_{AB'I}}}=\frac{\sqrt{30}}{10}.\)