Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}+\frac{1}{2}({{m}^{2}}-1){{x}^{2}}+1-m\) có điểm cực đại là \(x=-1\)?

* Hướng dẫn giải

\(y={{x}^{3}}+\frac{1}{2}\left( {{m}^{2}}-1 \right){{x}^{2}}+1-m\)

\(y'=3{{x}^{2}}+\left( {{m}^{2}}-1 \right)x\)

\(y''=6x+{{m}^{2}}-1\)

Hàm số  có điểm cực đại là \(x=-1\)

\(y = {x^3} + \frac{1}{2}\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 1 - m\)

\( \Rightarrow 3 + \left( {{m^2} - 1} \right)\left( { - 1} \right) = 0 \Rightarrow {m^2} = 4 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 2\\ m = - 2 \end{array} \right.\)

Lúc này \(y''\left( -1 \right)=-6+4-1<0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x=-1.\)

Vậy có 2 giá trị \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.