Cho hàm số y=f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ . Biết \({{H}_{1}}\) có diện tích bằng 7, \({{H}_{2}}\) có diện tích bằng 3. Tính \(I=\int\limits_{-2}^{-1}{(...

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\left\{ \begin{array}{l} {S_{{H_1}}} = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x){\rm{d}}x} = 7\\ {S_{{H_2}}} = \int\limits_1^2 {\left[ { - f(x)} \right]{\rm{d}}x} = 3 \end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{ - 1}^1 {f(x){\rm{d}}x = 7} \\ \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x = - 3} \end{array} \right.\).

Xét \(I = \int\limits_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 6)f({x^2} + 6x + 7){\rm{d}}x} \).

Đặt \(t = {x^2} + 6x + 7 \Rightarrow {\rm{dt}} = (2x + 6){\rm{d}}x\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 \Rightarrow t = - 1\\ x = - 1 \Rightarrow t = 2 \end{array} \right.\).

Khi đó: \(I = \int\limits_{ - 1}^2 {f(t){\rm{dt}} = \int\limits_{ - 1}^2 {f(x){\rm{d}}x = \int\limits_{ - 1}^1 {f(x){\rm{d}}x + \int\limits_1^2 {f(x){\rm{d}}x = 7 + ( - 3) = 4} } } } \).

Vậy I = 4