Cho \(x,\,\,y,\,\,z>0;a,\,\,b,\,\,c>1\) và \({{a}^{x}}={{b}^{y}}={{c}^{z}}=\sqrt[3]{abc}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-{{z}^{2}}+z\) thuộc khoảng nà...

* Hướng dẫn giải

Ta có : \({a^x} = {b^y} = {c^z} = \sqrt[3]{{abc}}\); suy ra \(x = {\log _a}\sqrt[3]{{abc}}\,,\,\,y = {\log _b}\sqrt[3]{{abc}}\,,\,\,z = {\log _c}\sqrt[3]{{abc}}\) với \(x,\,\,,y,\,\,z > 0\).

Khi đó : \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{{{\log }_a}\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{1}{{{{\log }_b}\sqrt[3]{{abc}}}} + \frac{1}{{{{\log }_c}\sqrt[3]{{abc}}}} = {\log _{\sqrt[3]{{abc}}}}a + {\log _{\sqrt[3]{{abc}}}}b + {\log _{\sqrt[3]{{abc}}}}c\)

\( = {\log _{\sqrt[3]{{abc}}}}(abc) = 3\)

Suy ra : \({\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 3 - \frac{1}{z}}\).

Thay vào biểu thức P, ta được : \(P = f\left( z \right) = 3 - \frac{1}{z} - {z^2} + z\,\,\,\left( {z > 0} \right);\,\,f'\left( z \right) = \frac{{ - 2{z^3} + {z^2} + 1}}{{{z^2}}} = 0 \Leftrightarrow z = 1\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên, ta có \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} f(z) = f(1) = 2\).

Vậy \(\mathop {\max }\limits_{} P = 2\)